Artículos Selectos

El principio holográfico

Por Sergio Montañez Naz.

Mi modesta contribución a esta revista pretende ser un acercamiento a una de las ideas más apasionantes que baraja la física teórica actual: la idea de holografía.

Comencemos con la idea de acción a distancia. Desde pequeños, en la escuela, aprendemos que los objetos pueden interaccionar a distancia (ejercer «fuerzas» unos sobre otros aún estando separados): nos explican la acción de unos imanes sobre otros, la atracción o repulsión entre cargas eléctricas, la atracción gravitatoria entre planetas, estrellas, etc… Lo que no nos dicen, o, por lo menos, no nos lo cuentan con demasiada claridad, es si estas interacciones a distancia son instantáneas o, por el contrario, requieren un tiempo finito para que algo se «propague» de un objeto a otro y se produzca la interacción. Es fácil que la idea que se nos quede es que estas interacciones son instantáneas porque, de hecho, es así como Newton formuló la ley de la gravitación que estudiamos en la escuela.

El asunto cambia radicalmente tras la formulación por Albert Einstein, en 1905, de la teoría especial de la relatividad. Esta teoría se basa en dos postulados. El primero, denominado principio de relatividad, afirma que todas las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales, de forma que el plantearse cual de ellos es el que se mueve y cuál es el que está en reposo no sólo es una tarea imposible, sino que, además, carece de sentido. El segundo, que es el que más nos interesa en el presente artículo, se denomina principio de velocidad máxima de propagación de las interacciones y nos da la respuesta al interrogante del apartado anterior: no existen interacciones a distancia instantáneas[1]. Para que algo que ocurre en un punto concreto del espacio pueda afectar a otro punto separado es necesario que pase, como mínimo, el tiempo que tarda la luz en llegar del primer punto al segundo. Es por tanto la velocidad de la luz (unos trescientos mil kilómetros por segundo) una cota superior, tanto para viajar como para mandar algún tipo de señal que contenga información, como para cualquier otro tipo de proceso que suponga una interacción. Vemos, por tanto, que el espacio y el tiempo llevan asociado una estructura causal. Si dibujamos en un diagrama espacio-tiempo (de esos que nos pintaban en bachillerato) las trayectorias de rayos de luz, vemos que forman conos. El principio de velocidad máxima de propagación de las interacciones nos dice que, si nos encontramos en el vértice del cono, sólo podemos ir o afectar causalmente a sucesos que están dentro del cono y nunca fuera.

Es claro, por tanto, que la famosa ley de la gravitación de Newton no es compatible con la relatividad de Einstein. Esto no quiere decir que esta ley no sea útil, ya que permite explicar con bastante precisión el movimiento de casi todos los planetas y satélites en el sistema solar, debido a  que la velocidad a la que se mueven unos respecto de los otros es muy inferior a la de la luz y las interacciones gravitatorias en el sistema solar no son muy intensas. El propio Einstein, consciente de esta incompatibilidad, trabajó sobre la interacción gravitatoria durante años. El resultado, la teoría general de la relatividad1-[2], que generaliza a la anterior e incluye la gravitación de forma consistente. Esta teoría es, en opinión de algunos, «la más bella» de las teorías físicas existentes. Para lo que nos interesa en este artículo, decir, así a lo bruto, que en esta teoría la materia/energía «curva» el espacio-tiempo, de manera que los conos de luz están deformados, siendo posibles muchos tipos distintos de estructuras causales.

Una posibilidad nueva que se abre con la relatividad general es que exista una región del espacio en la que los conos de luz estén curvados de tal forma que sea imposible escapar y/o afectar causalmente al exterior. Esta región se denomina agujero negro, y su frontera, horizonte de sucesos. Aquí es donde toca hacer el comentario de siempre de todos los libros y artículos de divulgación de que, una vez alguien o algo atraviesa el horizonte de sucesos, es imposible que regrese. Aparte del interés en astrofísica que tiene la existencia de agujeros negros, el interés teórico es muy grande. Esto se debe fundamentalmente a una serie de fenómenos clásicos y cuánticos que teóricamente se producen en los agujeros negros. Entre estos cabe citar el famoso resultado de Hawking[3], de que un agujero negro radia como un cuerpo negro de cierta temperatura. Esta, y más propiedades, como las leyes clásicas de los agujeros negros, llevan a la conclusión de que los agujeros negros son, sorprendentemente (y ahora veremos por qué es sorprendente) sistemas termodinámicos[4]. Para concluir este párrafo, decir que la relatividad general de Einstein es una teoría clásica de la gravitación (es decir, no cuántica), y que no se tiene hoy en día ninguna teoría cuántica de la gravitación consistente, de forma que Hawking, para hacer su famoso cálculo, tuvo que recurrir a una cierta aproximación semiclásica.

Pasemos ahora a comentar por qué es sorprendente que los agujeros negros tengan propiedades termodinámicas. En física, dado un sistema de muchos grados de libertad (por ejemplo, un gas formado por muchas moléculas, de forma que hay muchos tipos distintos de movimientos posibles) existen dos tipos distintos de descripciones del sistema[5]: la descripción microscópica y la macroscópica o termodinámica. La primera de ellas consiste en dar el estado de movimiento de todas y cada una de las moléculas del gas. Es, por tanto una descripción puramente mecánica y bastante refinada. En cambio, la segunda consiste en dar la evolución de una serie de parámetros macroscópicos (volumen, presión, temperatura, etc…) y contiene muchísima menos información que la primera. Puede decirse, por tanto, que es una descripción «aproximada». Es importante notar, sin embargo, que, para un sistema de muchísimos grados de libertad, tratar con la descripción microscópica es imposible, tanto por la imposibilidad de tratar matemáticamente tantos parámetros microscópicos como por la imposibilidad de tener acceso experimental a esos parámetros. No obstante, las propiedades termodinámicas de los sistemas pueden deducirse a partir de modelos microscópicos. Esta conexión entre las dos descripciones la realiza la física estadística. Hay una magnitud termodinámica muy importante, denominada entropía, asociada con el «desorden» del sistema, que tiene la propiedad de que nunca disminuye si el sistema evoluciona de forma aislada (es decir, sin interaccionar con el exterior). Esta magnitud no tiene análogo microscópico y cuenta el número de estados microscópicos (estados de movimiento de todas las moléculas del gas) que son compatibles con un estado macroscópico dado (unos valores dados de volumen, presión, temperatura…). Del estudio semiclásico de los agujeros negros se deduce que estos tienen entropía y que esta es igual (salvo factores constantes multiplicativos) al área de su frontera (es decir, al área del horizonte de sucesos). Llegamos, por tanto, a la sorprendente conjetura de que la descripción que hace la relatividad general de los agujeros negros es una descripción macroscópica aproximada, de forma que existe una estructura interna microscópica de los agujeros negros. ¿Cuáles son, entonces, estos grados de libertad internos? No lo sabemos, entre otras cosas porque, como ya hemos indicado, no tenemos una teoría cuántica de la gravitación.

Aunque no sepamos cuáles son estos grados internos de libertad, el especular con ellos nos lleva a un resultado sorprendente, mediante el siguiente sencillo razonamiento. Imaginemos una región del espacio cuya frontera tiene un área A0, que contiene una cierta cantidad de materia/energía, con una entropía S0. Supongamos que esta materia/energía está en las condiciones en las que puede evolucionar de forma aislada hasta formar un agujero negro. Esto se denomina colapso gravitatorio y está aceptado que es un proceso físicamente posible en ciertas condiciones. Tras el colapso, en el que disminuye el área, tenemos un agujero negro cuya frontera tiene área , y que posee una entropía . Como el sistema está aislado, entonces la entropía no ha podido disminuir, de forma que . De estas desigualdades tenemos que, para la situación inicial, , es decir, que los grados de libertad internos (que no sabemos cuáles son) de una teoría cuántica de la gravitación en un volumen dado están acotados, no por el volumen, sino por ¡el área de la frontera de esta región! Es como si todo lo que ocurre en el interior de cierta región estuviera codificado en su frontera. El intento de entender este comportamiento, que, sabemos, ha de tener el espacio-tiempo cuántico en el que vivimos, lleva a la formulación del denominado principio holográfico[6]: toda la física en el interior de cierta región puede ser descrita en términos de una teoría que vive en la frontera de esta región. De la misma manera que toda la información de una imagen holográfica que vemos tridimensional esta codificada en una placa fotográfica que tiene sólo dos dimensiones, la física del mundo en el que vivimos parece entonces estar codificada, sorprendentemente, en un mundo que tiene ¡una dimensión menos!

Para concluir, comentar brevemente que, de todos los intentos que se están haciendo para obtener una teoría cuántica de la gravitación (lo que parece que nos permitiría obtener respuestas a todos los interrogantes que nos hemos hecho en este artículo), el aspirante que se presenta aparentemente como más prometedor es la teoría de cuerdas. En el contexto de esta teoría se han conseguido interpretar y contar con éxito los grados de libertad internos de los únicos tipos de agujeros negros en los que es posible hacerlo (denominados agujeros negros supersimétricos)[7] e, incluso, se han encontrado escenarios en los que la física cuántica gravitatoria de cierta región está descrita por una teoría en la frontera[8]. No obstante, la teoría de cuerdas no está completa, en el sentido de que sólo conocemos determinados límites perturbativos de ésta y algunas propiedades no perturbativas. Estamos todavía muy lejos de conocer cuál es la naturaleza cuántica del espacio-tiempo y de la interacción gravitatoria y, por tanto, de entender bien el principio holográfico.

Sobre el autor: Sergio Montañez Naz era, en la fecha de publicación de este artículo, becario de investigación del Instituto de Física Teórica UAM-CSIC y Lcdo. en Física por la Univ. de Córdoba.

Artículo publicado en Isagogé 0 (2003). Una versión extendida de este artículo se encuentra publicada en:

BIBLIOGRAFÍA

[1] L. D. Landau y E.  M. Lifshitz (1992): Teoría Clásica de los Campos, Barcelona, Volumen 2 del Curso de Física Teórica.

[2] R. M. WALD (1984): General Relativity, Chicago.

[3] S. W. HAWKING (1971): «Gravitational Radiation From Colliding Black Holes», Phys. Rev. Lett., 26,  p. 1.344.

[4] R. M. WALD (1994): Quantum Field Theory In Curved Space-Time And Black Hole Thermodynamics, Chicago.

[5] J. J. BREY, J. de la Rubia Pacheco, J. de la Rubia SÁnchez (2001): Mecánica Estadística,  Madrid.

[6] G. HOOFT (1993): «Dimensional Reduction In Quantum Gravity», arXiv:gr-qc/9310026. L. Susskind (1995): «The World as a hologram», J. Math. Phys., 36, p. 6.377. J. D. Bekenstein (1994): «Entropy bounds and black hole remnants», Phys. Rev. D, 49, p. 1.912.

[7] Ver, por ejemplo, G. T. HOROWITZ y J. POLCHINSKI (1997): «A correspondence principle for black holes and strings», Phys. Rev. D, 55, p. 6.189. A. STROMINGER y C. VAFA (1996): «Microscopic Origin of the Bekenstein-Hawking Entropy», Phys. Lett. B, 379, p. 99. J. M. MALDACENA (1996): «Black holes in string theory», arXiv:hep-th/9607235. J. M. MALDACENA, (1998): «Black holes and D-branes» Nucl. Phys. Proc. Suppl., 61A,  p. 111 [Nucl. Phys. Proc. Suppl., 62 (1998), p. 428]. G. T. HOROWITZ (1997): «Quantum states of black holes», arXiv:gr-qc/9704072. S. R. DAS y S. D. MATHUR (2000): «The Quantum Physics Of Black Holes: Results From String Theory», Ann. Rev. Nucl. Part. Sci., 50, p. 153.

[8] O. AHARONY, S. S. GUBSER, J. M. MALDACENA, H. OOGURI y Y. OZ (2000): «Large N field theories, string theory and gravity» Phys. Rept., 323 p.183

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