Modelización de la dispersión de contaminantes en la atmósfera mediante métodos de Monte Carlo

Por José Luis Santiago del Río.

El interés del hombre por comprender lo que ocurre en su entorno ha sido una constante a lo largo de la historia, y los fenómenos atmosféricos son de los que más curiosidad han despertado. El conocimiento de la atmósfera, aún hoy en día, no es del todo completo. El problema radica en que es un medio muy complejo donde hay fenómenos caóticos. La turbulencia existente es uno de los aspectos más difíciles de modelar. El comportamiento de sustancias contaminantes en este medio va a depender en buena parte de las condiciones meteorológicas y la geometría del entorno. Por tanto, en su modelización va a influir de manera considerable el tratamiento que se le de a estas condiciones.

Todo el mundo es capaz de reconocer la forma que tiene el humo cuando sale al exterior a través de la chimenea de una fábrica, pero sin embargo su descripción exacta (saber la concentración de contaminante en cada punto) es complicado. Existen modelos simples que la describen, como los gaussianos que dan unos resultados válidos para condiciones algo restrictivas, y los resultados son un valor medio (aproximadamente) de lo que ocurre realmente, no se observan las fluctuaciones. Aunque son muy utilizados en para el control de la calidad de aire por varias agencias medioambientales debido a su sencillez y rapidez de cálculo. En este artículo se va explicar otro tipo de modelos, los denominados modelos lagrangianos de partículas. Estos modelos consiguen representar de forma adecuada los penachos de contaminación, como por ejemplo al humo de la chimenea de la que hablábamos anteriormente. Una curiosidad del modelo a explicar es el uso de números aleatorios, eso sí con una determinada función de probabilidad, para simular la turbulencia.

Los modelos de partículas están basados en la discretización del contaminante en una serie de partículas que son liberadas en cada instante de tiempo. Se emplean partículas adimensionales que representan a una masa de contaminante, y posteriormente se realiza un seguimiento de todas las partículas a lo largo del dominio. Se podría decir que en realidad son partículas virtuales, ya que no son partículas físicas propiamente dichas.

El seguimiento de la trayectoria de un número alto de partículas conduce a un estudio estadístico del problema. Estas teorías estadísticas se basan en las llamadas pdf o funciones de densidad de probabilidad. Este concepto puede ser resumido con la siguiente expresión matemática:

donde,

• ψ(x’,y’,z’,t₀): Representa la probabilidad de que una parcela de fluido se encuentre en la posición (x’,y’,z’) en el instante t₀.
• ψ(x-x’,y-y’,z-z’,t,t₀): Representa la probabilidad de transición de que la parcela de aire que estaba en la posición (x’,y’,z’) en el instante t₀ se desplace hasta la posición (x,y,z) en el instante t.
• ψ(x,y,z,t₀): Representa la probabilidad de que una parcela de fluido se encuentre en la posición (x,y,z) en el instante t.

La trayectoria de cada partícula es calculada por el modelo considerando que en cada momento existe una pseudo-velocidad que desplaza a cada una, es decir si una partícula se encuentra en la posición x₁ en el instante posterior estará en x₂, siendo esta posición final la correspondiente al desplazamiento que provoca esta pseudo-velocidad en ella a partir de x₁. Se emplea el término pseudo-velocidad ya que no es una velocidad real del flujo turbulento atmosférico aplicada sobre cada molécula, sino que es un algoritmo que describe el desplazamiento de cada partícula para dar una distribución de densidad precisa.

En cada paso de tiempo el desplazamiento de cada partícula es calculado mediante la suma de una componente determinista que representa el transporte medio producido por el viento (û), y otra estocástica relacionada con la intensidad de la turbulencia (u’). En hallar esta componente aleatoria recae la mayor parte de la dificultad de estos modelos. Por tanto, la velocidad de desplazamiento de cada partícula viene dada por la siguiente expresión:

u=û+u’

El desplazamiento en cada instante de tiempo (Δt) es (en dos dimensiones aunque fácilmente extensible a tres):

x(t+Δt)=x(t)+Δt(û_x(t)+u_x‘(t))

y(t+Δt)=y(t)+Δt(û_y(t)+u’_y(t))

Observando las expresiones cabe destacar que dos partículas que estén en un mismo punto del espacio en un mismo instante de tiempo, en el instante posterior no tienen porque estar situadas en idéntica posición, debido al término estocástico.

Una manera de calcular las fluctuaciones de la velocidad, u’_x  y u’_y, es suponiendo que tiene dos componentes una correlacionada con la fluctuación en el instante anterior y otra componente aleatoria con una determinada función de distribución (Zannetti, 1990; Xia y Leung, 2001):

u’_x(t+Δt)=R(Δt)u’_x(t)+u»_x

u’_y(t+Δt)=R(Δt)u’_y(t)+u»_y

R(Δt) es el coeficiente de autocorrelación lagrangiano. Su significado se puede explicar a partir del término R(Δt)u'(t). Este término representa el efecto de la fluctuación de la velocidad en el tiempo t sobre la fluctuación de la velocidad en un tiempo posterior t+Δt. Esta función suele tener una forma exponencial,

R(Δt)=exp(-Δt/T_L)

siendo T_L el tiempo de escala lagrangiano.

Los términos u»_x y u»_y son velocidades generadas aleatoriamente por el ordenador tomadas de una distribución gaussiana con media 0 y desviación estándar dada por la siguiente expresión:

σ_u»=σ_u»(1-R²(Δt))^1/2

siendo,  la desviación estándar de la componente . Su valor puede ser tomado de las medidas eulerianas.

Aunque también existen parametrizaciones más o menos complejas para hallar su valor dependiendo de las condiciones de trabajo. Existen otras maneras más complejas de calcular  la componente estocástica del movimiento de las partículas con otros tipos de correlaciones, como las Cross-correlations, e incluso usar otro tipo formulación como es el caso del uso de ecuaciones de Langevin no lineales.

La concentración de contaminante se puede hallar con estos modelos de partículas de manera bastante directa sin más que contar el número de partículas que están cerca del emisor, teniendo en cuenta la masa y el tipo de partícula.

Una ventaja de estos modelos es la relativa facilidad con la que se pueden mejorar para simular fenómenos como la flotabilidad con solo añadir términos a la velocidad de transporte de la partícula. El depósito y las reacciones químicas pueden ser modeladas por medio de la consideración de la masa de la partícula de una manera dinámica, ya que con estos modelos se sigue a cada partícula conociendo datos como la fuente de donde procede, su masa, especie o tamaño, y así se puede calcular el depósito seco, húmedo o la distribución de un tipo de partículas concreto. Otro dato importante sobre estos modelos es que no utilizan malla, es decir, la posición de la partícula puede ser cualquiera, y por tanto la resolución de estos modelos es en principio mayor que las de cualquier otro y sólo va a venir marcada por los intervalos de tiempo que se utilicen. Aunque bien es verdad que la resolución de los datos que se le van introduciendo al modelo, como es el caso de los campos de viento, sí van a influir.

Sobre el autor: José Luis Santiago del Río era, en el momento de publicación de este artículo, becario de investigación del Departamento de Combustibles Fósiles del CIEMAT y Lcdo. en Física por la Universidad de Córdoba.

Artículo publicado en Isagogé 0 (2003).

REFERENCIAS

• Xia, J. y Leung, D.Y.C. (2001): «Pollutant dispersion in urban street canopies», Atmospheric Environment, 35, pp. 2.033-2.043.
• Zannetti, P. (1990): Air pollution modeling. Theories, computational methods and avaible software, Southampton, Boston, NY.