Artículos Selectos

La necesidad de una teoría cuántica de campos

Por Iván Agulló Rodenas y Enrique Fernández Borja.

Introducción

A principios del siglo XX surgen dos teorías llamadas a revolucionar toda la estructura conceptual de la física, la relatividad especial y la mecánica cuántica. Ambas teorías trastocan de forma radical la forma en la cual hemos de entender la naturaleza.

Estos nuevos esquemas conceptuales se establecen epistemológicamente como teorías marco, es decir, la naturaleza se comporta de tal modo que todos los procesos están descritos por teorías que han de ser coherentes con los principios que imponen tanto la relatividad especial como la mecánica cuántica.

Lo que vamos a intentar exponer en este trabajo es cómo el intento de hacer compatibles ambos esquemas teóricos, relatividad y mecánica cuántica, nos va a llevar, de forma inevitable, a la construcción de una nueva teoría más general, la Teoría Cuántica de Campos, la cual constituye la base teórica más potente, globalmente aceptada, que posee la física teórica en estos momentos y sobre la cual descansan todas las grandes teorías que describen tanto las partículas elementales como las interacciones entre ellas.

De tal modo que la Teoría Cuántica de Campos no es más que la teoría de la mecánica cuántica relativista, pero, como sucede a menudo, el todo es algo más que la suma de las partes. Es por esto que la  Teoría Cuántica de Campos hace aparecer aspectos de la naturaleza hasta entonces desconocidos y que pronto se comprobaron experimentalmente, como puede ser la existencia de antimateria, la naturaleza del espin, etc, lo cual dio a esta teoría un éxito sin precedentes que aún conserva hoy día.

Por todo lo dicho anteriormente el planteamiento de este trabajo no puede ser otro que comenzar presentando de forma breve el corazón de la mecánica cuántica y de la relatividad, a partir de esto ver qué problemas de incompatibilidad presentan y finalmente en el intento de salvar sus diferencias nos encontraremos con la Teoría Cuántica de Campos y con todos sus triunfos.

Mecánica Cuántica

La física clásica, la cual todos hemos estudiado, divide los sistemas físicos en dos grupos, según su naturaleza, cada uno de los cuales posee sus características y propiedades. Por un lado están las partículas cuyas propiedades son la posición,  velocidad, momento angular, etc., y cuyos procesos característicos serían las colisiones, dispersiones, … El otro gran grupo lo forman las ondas, las cuales vienen caracterizadas por su longitud de onda, frecuencia, velocidad de propagación, etc., y experimentan fenómenos típicos como son reflexión, refracción, difracción, interferencia, …

De forma resumida podríamos decir que la mecánica cuántica rompe con esta distinción y trata a todos los sistemas físicos del mismo modo, que podíamos llamar  «entes cuánticos», por llamarlos de algún modo, y que podemos imaginar como algo intermedio entre las partículas y ondas clásicas. Los «entes cuánticos» vienen descritos una función, conocida como Función de onda . Esta función contiene toda la información que se puede obtener del sistema en cuestión. El calificativo de «de ondas» es debido a que es solución de una ecuación de tipo ondulatorio. El módulo al cuadrado de esta función nos da la probabilidad de encontrar el sistema (por ejemplo un electrón) en un punto del espacio.

Aquí ya podemos ver la radical diferencia entre el mundo clásico y el cuántico, la máxima información que podemos poseer sobre un sistema físico es un distribución de probabilidad de ser encontrado en el espacio, no tenemos certeza de si la partícula será encontrada aquí o allá, únicamente probabilidad. Pero eso si, esa distribución de probabilidad, la función de onda, viene perfectamente determinada por su ecuación de evolución, la Ecuación de Schrödinger. Para entender esto mejor podemos poner como analogía la imagen de una ola de criminal. Supongamos que el sur de España sufre una ola de asesinatos. Los criminólogos pueden, a través de sus estudios, llegar a conocer de forma bastante certera cuál es la probabilidad de que el próximo asesinato sea en un lugar o en otro, o en general cuál es la distribución de probabilidad de que ocurra un asesinato en las tierras andaluzas. Pero esa es el máximo conocimiento al que pueden llegar, la distribución de probabilidad, ningún criminólogo afirmará que sucederá en Zagrilla o en Rute.

Es importante remarcar que, como probabilidad que es, la integral del modulo cuadrado de la función de onda extendida a todo el espacio es la unidad. Esto es, si nos preguntamos por la probabilidad de encontrar la partícula en cualquier sitio la respuesta es uno, y seguirá siendo uno por siempre. Este resultado, de capital importancia en lo que sigue, es consecuencia de la propia formulación de la mecánica y se conoce como teorema de conservación de la probabilidad.

Relatividad Especial

En 1905 Albert Einstein presentó las ideas de lo que hoy conocemos como Relatividad  Especial que modificó de forma radical nuestras ideas sobre espacio y tiempo.

Antes de la aportación de Einstein nuestra ideas sobre espacio y tiempo se remontan a los tiempos de Newton. En resumen estas ideas se basan es que vivimos en un espacio tridimensional  absoluto, donde absoluto significa que la distancia que separa dos puntos de ese espacio es la misma para cualquier observador. Es decir, cada observador asignará coordenadas diferentes a un mismo punto, lo que para uno está en el eje X para otro puede estar en el eje Z, lo que para uno está parado para otro puede estar en movimiento, pero el modulo del vector que une dos puntos es el mismo para todos los observadores. Para pasar de un observador a otro hemos de entremezclar los coordenadas espaciales, pero siempre estaremos seguros que las distancias se mantendrán invariantes.

El papel del tiempo no es más que el de un parámetro de evolución común o todos los observadores , que nos sirve para cuantificar cuáles son las variaciones de las cantidades que podemos situar en ese espacio absoluto, como posición, velocidad, etc.

El corazón de todas las ideas que introduce la relatividad especial se pueden resumir diciendo que no vivimos en un espacio tridimensional absoluto y existe un parámetro de evolución universal para cualquier observador, sino que vivimos en un espacio cuadridimensional absoluto, el tiempo es una coordenada más que junto con las tres espaciales forman el espacio de cuatro dimensiones en el que vivimos. Y cuando decimos absoluto estamos diciendo lo mismo que decíamos para tres dimensiones, distintos observadores asignarán distintas coordenadas espaciales y temporal a un suceso pero ahora el módulo[1] del vector cuadridimensional que une dos sucesos es el mismo para todo observador. Es decir, el tiempo no es un parámetro de evolución y el espacio tridimensional no es absoluto sino que el espacio y el tiempo forman un espacio cuadridimensional absoluto donde para pasar de un observador a otro habremos de entremezclar las cuatro coordenadas, es decir el tiempo también entra en el cambio de coordenadas como una coordenada más que es. Así dos observadores distintos pueden medir intervalos de tiempos distintos entre dos sucesos, así como distancias distintas, pero el módulo del vector de cuatro componentes (t,x,y,z) que une ambos sucesos en el espaciotiempo es el mismo para todos.  Esta es la idea principal de la relatividad especial y a partir de ella se pueden obtener todas  sus consecuencias.

Una de las consecuencias más sobresalientes de la teoría es la fórmula archiconocida:

                                                           E = c2  m

Esta expresión pone de manifiesto un hecho importantísimo y es que la masa no es más que una forma de energía (c es la velocidad de la luz y no es más que una constante de proporcionalidad), como puede serlo la energía cinética o el calor, y por tanto entrará en el computo de la conservación de la energía como cualquier otra. Así la energía es susceptible de condensarse en masa y viceversa.

Es imposible expresar la importancia de esta expresión que nos dice que la masa no es más que una forma de energía, ella es responsable de la evolución de la física nuclear, la física de partículas e incluso es la clave que dio lugar a la bomba atómica.

La Teoría Cuántica de Campos

La formulación de la mecánica cuántica a través de la ecuación de Schrödinger no tiene en cuenta los principios que introduce la relatividad especial y se basa en las ideas de newtonianas de espacio y tiempo. Es nuestro objetivo llegar a una formulación de la mecánica cuántica que incorpore las ideas relativistas para el espacio y el tiempo, es decir pretendemos llegar a una teoría cuántica relativista.

Únicamente es necesario echar un vistazo a las ideas base expuestas anteriormente acerca de ambas teorías para darnos cuenta de que son incompatibles. Tal y como hemos formulado la mecánica cuántica, una partícula viene descrita por una función de onda que nos proporciona la distribución de probabilidad de encontrar esa partícula, y como hemos dicho, la probabilidad de encontrar la partícula en todo el espacio es uno y se conserva. Pero si esto le añadimos que la energía puede materializarse en masa y viceversa (E = c2 m) estamos permitiendo que en un cierto proceso aparezcan o se destruyan partículas (respetando ciertas leyes de conservación como la carga eléctrica, el espín, …) vía la variación de la energía puesta en juego. Esto, evidentemente, viola la conservación de la probabilidad de la mecánica cuántica pues pueden aparecer partículas que antes no existían y pueden destruirse las que teníamos.

Concluimos que ambas teorías, tal y como están formuladas, son incompatibles. No es posible construir una teoría cuántica mediante el formalismo de la función de onda si introducimos las ideas relativistas.

La solución la encontraremos planteando una formulación distinta de la mecánica cuántica de la que nos da la interpretación probabilística planteada por Schrödinger.  Este problema se resolvió allá por finales de los años veinte del siglo pasado recurriendo a la teoría de campos.

Un campo es un ente que toma un valor en cada punto del espacio y en cada instante de tiempo. Por ejemplo la cantidad de lluvia caída en España es un campo  pues toma un valor en cada punto del país y en cada instante de tiempo. A diferencia de las partículas que únicamente están definidas en un lugar determinado del espacio, los campos toman un valor en todo punto del espacio simultáneamente.

Consideremos el campo de la altura del agua en la superficie de un estanque respecto a la superficie del estanque cuando el agua está calma. Este campo tomará un valor mayor donde hay una ola y valor cero donde el agua está en calma. Si tiramos una piedra al estanque cuando el agua está en calma (el campo vale cero en todo los puntos) provocaremos una ola que se irá propagando a través de la superficie del estanque. Habremos creado una perturbación en el campo que se irá propagando en el espacio y en el tiempo por toda la superficie. Le hemos aportado una cierta cantidad de energía al campo que éste a manifestado como una perturbación que se ha propagado por la superficie.

Los físicos teóricos del siglo pasado tuvieron la genial idea de reinterpretar el concepto de partícula en mecánica cuántica. Por ejemplo, supongamos que estamos estudiando un electrón. Consideremos que ahora tomamos la función de onda y en lugar de darle la interpretación probabilística que antes le dábamos la reinterpretamos como un campo (en este caso el campo electrónico) que toma un valor en cada punto del espacio. Los físicos decidieron interpretar las partículas (electrones en nuestro ejemplo) como las perturbaciones de dicho campo, que irán propagándose por el espacio-tiempo de acuerdo con su evolución. Podemos imaginarlo como el campo de la altura del agua del estanque. Las olas en el estanque serían los electrones en el campo electrónico. De igual modo que tiramos una piedra al estanque y le comunicamos energía produciendo olas, podemos perturbar el campo electrónico comunicándole energía y produciendo perturbaciones de dicho campo que se propaguen por el espacio-tiempo, es decir electrones.

De tal modo que reinterpretamos las partículas como perturbaciones del campo al que pertenecen. Los más sorprendente es que esta forma de interpretar las partículas en mecánica cuántica hace que la relatividad especial sea perfectamente compatible pues, como hemos visto, podemos crear y destruir partículas sin más que comunicar la energía suficiente al campo que no es más que la materialización de la fórmula de Einstein E = m c2.

Visto esto, la respuesta es evidente, la forma de construir una teoría que ponga en conjunto la mecánica cuántica y la relatividad especial es reinterpretar la función de onda como una campo cuántico e interpretar las partículas como las perturbaciones o excitaciones de dicho campo. Esto es construir una Teoría Cuántica de Campos.

Evidentemente si perturbamos el campo electrónico y creamos electrones, puesto que éstos tiene carga estaremos violando la conservación de la carga, así como otras propiedades que este posee. Esto, aunque expresado de una forma algo más formal, llevó a P.A.M. Dirac  a postular que cada partícula fundamental tiene asociada otra partícula con sus mismas características pero con la carga contraria. Esto es la antimateria. La antipartícula del electrón el positrón, la del protón es el antiprotón, etc…

El hecho de que 2 años más tarde de la hipótesis de Dirac se encontrara experimentalmente el positrón, y posteriormente la antipartícula de cada partícula conocida, pone de manifiesto que la Teoría Cuántica de Campo es algo más que una mera elucubración de la mente de los físicos teóricos.

Conclusión

A fecha de hoy, la Teoría Cuántica de Campos es esquema teórico con mayor poder predictivo de que dispone la física teórica. Ha cambiado la forma e ver las interacciones fundamentales viéndose ahora como intercambio de partículas, o mejor dicho de excitaciones del campo responsable de la interacción (por ejemplo la interacción electromagnética se entiende ahora como intercambio de fotones entre las partícula que interaccionan). Con esto no sólo se ha roto con la idea clásica y siempre molesta de acción a distancia sino que se ha conseguido revolucionar el mundo de las partículas elementales, de la unificación de las interacciones fundamentales consiguiendo acuerdos con el experimento impensables hasta el momento.

La Teoría Cuántica de Campos es uno de los grandes logros de la mente humana, en lo que a ciencia se refiere y un ejemplo de que, el universo está escrito en lenguaje matemático o no, somos capaces de decir mucho sobre él desde nuestra humilde posición.

Esperamos que la lectura de este artículo haya servido para, al menos, ilustrar las ideas fundamentales que se esconden detrás del enrevesado formalismo asociado a la física teórica.

Sobre los autores: Iván Agulló Rodenas era, en el momento de la publicación de este artículo, Licenciado en Física por la Universidad de Valencia. Enrique Fernández Borja era, en el momento de la publicación de este artículo, Licenciado en Física por la Universidad de Valencia .

Artículo publicado en Isagogé 1 (2004).

Bibliografía

Eisberg, R. M. (1985): Quantum Physics: Of Atoms...,  John Wiley & Sons Inc.
Peskin, M.E. (1995): Introduction to Quantum Field Theory, Perseus Books.
Ryder, L.H. (1996): Quantum Field Theory, Cambridge Univ. Pr. 
Weinberg, S. (1995): Quantum Theory of Fields:  Foundations, Cambridge Univ. Pr. 
Weinberg, S.: What is Quantum Field Theory and What did we think it is?, pre-print:  hep-th/9702027

[1]Se ha de precisar que el módulo en el espacio cuadridimensional no es el mismo que en el espacio tridimensional euclídeo y precisamente la forma de este módulo es lo que aporta las propiedades al espacio-tiempo , como por ejemplo la constancia de la velocidad de a luz.

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