Artículos Selectos

El problema de la cuadratura del círculo

Por Eduardo Núñez Delgado.

En la antigüedad, muchos matemáticos se sorprendieron al encontrarse con un número diferente a los conocidos, el número π. Para ellos todo era geometría, o más bien, construcciones con rectas y circunferencias. Sus mayores preocupaciones eran las inscripciones de figuras en triángulos, cuadrados y círculos. El matemático Paul Tanneri ofreció una clara imagen de estas preocupaciones:

Al conocer lo que se enseñaba en el hemiciclo de Pitágoras, veo como si toda la geometría elemental estuviera surgiendo de la cabeza de este genio, lo mismo que Minerva brotó de la de Júpiter. Porque se estaba atreviendo con cierto éxito a desentrañar los misterios de la cuadratura del círculo, a trazar tetraedros y dodecaedros y a despejar nítidamente el enigma de la diagonal del cuadrado. Aquello era una demostración de matemáticas y geometría en su estado más puro. (CANIFF (1997), p. 69).

En 1706, el inglés William Jones fue el primero en utilizar el símbolo griego π para denotar la relación entre la circunferencia y su diámetro. Euler en su obra Introducción al cálculo infinitesimal, publicada en 1748, lo popularizó definitivamente.

Muchos intentos para determinar π con exactitud están relacionados con el clásico problema de la cuadratura del círculo: «construir, utilizando únicamente regla y compás, un cuadrado de área igual a un círculo dado».

El primero que intentó resolver este problema fue Anaxágoras, mientras estaba en la cárcel como prisionero político (fue liberado gracias a la intervención de Pericles, de quien había sido profesor). Dicen que llenó las paredes de la celda con los cálculos.

Johan Heinrich Lambert (1728-1777), matemático alemán, probó en 1761, que π es irracional. (Un número irracional no se puede escribir en forma de fracción racional).

Y finalmente, Ferdinand Lindemann (1852-1939) demostró, en 1880, que π es un número trascendente. Esto significa, entre otras cosas, que el problema de la cuadratura del círculo no tiene solución. Pese a ello, todavía se sigue intentando.

Resulta que Lindemann demostró que π no es solución de ningún polinomio.

De este modo, el autor, quiere dar la importancia que se merece el desarrollo de la teoría de Galois en el siglo XIX, que permitirá demostrar que no es posible construir con regla y compás un cuadrado cuya área coincida con la de un círculo dado.

Lo cual no quiere decir que sea imposible la cuadratura del círculo, siempre que no seamos tan exigentes en los métodos de construcción, permitiendo la presencia de líneas que no se puedan trazar con el única ayuda de la regla y el compás.

A algunos estudiantes de matemáticas nos ha impresionado la manera de construir toda una teoría que resuelve de modo relativamente sencillo (al menos eso cuentan algunos) dichos problemas.

NUESTRO PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:

¿Es posible construir con regla y compás un cuadrado que tenga el mismo área que un círculo dado?

Para abordar esta pregunta, supongamos que tenemos un conjunto de puntos S. Diremos que un punto P(a, b) de S es construíble en un paso, si este punto se obtiene de una de las siguientes formas:

1º) P es la intersección de dos rectas p1p2 y q1q2, donde p1 , p2 , q1 , q2 , son puntos de S.

cuadraturacirculo1

2º) P es la intersección de la recta p1p2  y la circunferencia C (q1, q2).

cuadraturacirculo2

  3º) P es la intersección de dos circunferencias.

cuadraturacirculo3

También diremos que P es construíble en S si existe una sucesión de puntos p1, p2, …, pn= P, tal que pi es un punto de S U{p1, p2, …, pi-1}.

LEMA:  Supongamos ahora que S tiene al menos dos elementos, siendo un subconjunto de R2, y  si= (ai, bi). Si s= (a, b) es construíble en S , entonces podemos expresar a y b en función de ai y bi, usando operaciones racionales y raíces cuadradas.

DEMOSTRACIÓN:

Es suficiente demostrar que a y b es construíble en un paso y luego aplicamos inducción. Supongamos que s se obtiene como intersección de una recta y un círculo, donde la ecuación de la recta es:

(y – b1)/(b– b1)= (x – a1)/(a2 – a1)           (1)

y la ecuación de la circunferencia es:

(x – a3)2+ (y – b3)2= (a– a3)2+(b– b3)2         (2)

así, de (1) tenemos que

y=[(x-a1)/(a2 – a1)]·(b2 – b1)+b1     ,

y sustituyendo esta expresión en (2), obtenemos la ecuación de 2º grado, cuyas raíces están expresadas en función de s1, s2, s3, s4, utilizando operaciones racionales y raíces cuadradas.

                                                                         ///

De este modo, si el problema de la cuadratura del círculo tuviera solución, entonces, (π1/2, 0) es construíble en {(0, 0), (1, 0)}.

CONCLUSIÓN:

Por tanto, resolver nuestro problema implica que  (π1/2, 0) es construíble en {(0, 0), (1, 0)}, con lo cual π1/2 se puede expresar con operaciones racionales y raíces cuadradas. Es decir, que π1/2 sea solución de un polinomio. Y, de este modo, reducimos el problema a ver si podemos expresar π1/2 de esta forma.

Gracias a Lindemann y a la teoría de Galois, podemos decir que nuestro problema no tiene solución, ya que π1/2 no es construíble, luego no se puede expresar así.

Por tanto, nuestro próximo problema será respondernos a la siguiente pregunta: ¿Cuándo puede ser la solución expresada en función de operaciones racionales y raíces cuadradas?

Sobre el autor: Eduardo Núñez Delgado era, en el momento de la publicación de este artículo, estudiante de la Licenciatura en Matemáticas en la Univ. Autónoma de Madrid.

Artículo publicado en Isagogé 0 (2003).

Agradecimientos:

El autor quiere agradecer a sus profesores del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid, y a sus compañeros y amigos, el apoyo que le ofrecen en cada proyecto y decisión que emprende. También agradece a Rocío Belén Rubio Valverde la gran ayuda prestada en el mecanografiado, sin la cual, este artículo no se habría finalizado. Asimismo, el autor se hace responsable de las posibles erratas que puedan existir en el texto.

Bibliografía:

CANIFF, P.(1997): Pitágoras, Madrid.

COLLETTE, J. P. (1985): Historia de las Matemáticas, Madrid, 2 volúmenes.

GARLING, D. J. H. (1986): A Course in Galois Theory, Cambridge.

NAVARRO, G. (2002): Un curso de álgebra, Valencia.

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