¿Qué son los números?

Por Aarón Ruiz Gómez.

Bertrand Russell dijo en cierta ocasión: «Dios hizo los números enteros, los demás son cosa del hombre». Sentí especial interés cuando leí esta cita. Independientemente de la existencia o no de una Inteligencia creadora de todas las cosas, hecho en el que no voy a entrar por no ser mi motivo de discusión en este momento, lo que Russell pretendió decirnos es que los números enteros se encuentran en la Naturaleza, son dados a los hombres como pieza indiscutible del Cosmos en que vivimos, mientras que el resto de los números son invención humana, útiles herramientas que nos ayudan a descubrir y entender fenómenos, elementos imprescindibles que nos posibilitan construir nuevos pensamientos e ideas, pero que no dejan de ser una creación del hombre.

De hecho, desde el principio de los tiempos, el hombre ha sido capaz de distinguir entre uno, dos o más; así al menos podía valerse de tres cantidades, siendo la tercera «varios» para cualquier cantidad mayor que dos. El concepto de número estuvo presente en los albores del desarrollo de la inteligencia humana, tan antiguo como el descubrimiento del fuego y muy anterior, sin lugar a dudas, al lenguaje inventado para designar cantidades. Paralelamente al concepto de número nace la idea de magnitud que, si bien en un primer momento surge desconectado de los números, después se conectaría por semejanza entre ambos conceptos.

Conforme las necesidades humanas crecieron también aumentó la obligación de conocer números mayores, ya no era suficiente distinguir entre uno, dos o varios. Había que conocer números mayores para contar cabezas de ganado, piedras, individuos de la tribu, etc. Los números naturales habían crecido. Esto dio pie a la creación de los distintos sistemas de numeración, originariamente unas muescas sobre huesos o piedras que después evolucionarían a sistemas tales como el sexagesimal babilónico (que hasta 60 era acumulativo y para cantidades mayores se convertía en posicional), el egipcio, el romano, hasta nuestro sistema decimal, invención hindú en la que los diez primeros dígitos son distintos y de ahí para arriba se emplea un sistema posicional. Pero nuestra forma de clasificar y trabajar con los números  no cesó al adoptarse este sistema. Por ejemplo, el nacimiento de las computadoras dio lugar a otros sistemas tales como el binario, el octal o el hexadecimal, todos ellos posicionales también, y sin los cuales el desarrollo de la electrónica digital no habría sido posible.

Los números enteros se conciben como números naturales que tienen asociado un signo. Así pues, para dar un número entero necesitamos conocer su signo y su magnitud. ¿Pero qué representa un número negativo por sí solo? Es intuitiva e inmediata la siguiente cantidad: cuatro personas. Pero, ¿es tan intuitiva y definitoria la idea de – 4 personas? ¿Qué son – 4 personas, el número de habitantes que ha disminuido una localidad en un año, el número de pacientes que tiene aún que visitar hoy un médico o tal vez los jugadores que todavía nos restan para poder jugar un partido de fútbol? El número negativo no tiene sentido si no se asocia a una situación, a un requerimiento, a un problema. Y es para ello para lo que surge, para resolver problemas. Si al resolver un problema de contabilidad vemos que nuestra empresa tiene unas ganancias anuales de –2000 € debemos preocuparnos, pues ese signo menos indica que nuestras ganancias no son más que pérdidas. Si al querer excavar un pozo vemos que este ha de tener una longitud de –15 metros, entendemos que es profundidad bajo la superficie lo que nos está indicando el signo. ¿Dónde se encuentra el significado de los signos de los números enteros sino en nuestras situaciones, en nuestras mentes?

Englobando a los números enteros nos encontramos a los racionales, números que se pueden expresar en forma de fracción, ya utilizados por babilonios y egipcios en la Antigüedad, aunque con ciertas limitaciones en la notación. Por ejemplo, los egipcios no concebían fracciones con numerado distinto de uno. Sin lugar a dudas los números racionales presentan aspectos ininteligibles y paradójicos: ¿Qué ocurre si pretendemos repartir un euro entre tres chavales a partes iguales? Nos saldría que a cada uno le corresponderían 0,33333…. euros, ¡con un número infinito de cifras decimales! Obtendríamos pues un número periódico puro, es decir que, hablando con rigor, suponiendo idénticas las cantidades recibidas por cada uno de los tres beneficiarios y suponiendo también un número finito de decimales (las monedas no pueden ser fraccionadas infinitamente), si las sumásemos nunca nos daría completamente un euro. Todo el problema reside en la imposibilidad de dividir la unidad entre tres o múltiplo del mismo sin que nos salga como resultado un número decimal periódico.

También encontramos historias curiosas en relación a los números racionales, como la del padre que dejó como herencia once cerdos a sus tres hijos de manera que al mayor le correspondiesen un medio del total de cerdos, al mediano un cuarto y al menor un sexto. Para que se cumpliesen estas proporciones tendríamos que seccionar a los animales, idea que no nos conviene. Fijémonos en la suma de las fracciones:

Es decir que, como la suma total no es igual a la unidad, podemos pensar que va a haber alguien ajeno que se lleve un cerdo o una parte mutilada del mismo. En aquella trifulca pasa la vecina de la granja de al lado dando una vuelta con su cerdito como si de un animal de compañía se tratase. Enterada de la disputa le dijo al mayor que cuantos cerdos veía. «doce», respondió, «pues toma un medio de los mismos que no es mas que seis». Al mediano le hizo que tomara un cuarto de doce, que es tres, y al menor un sexto, que es dos. Si sumamos: 6+3+2=11. Pero aún sobra un cerdito que precisamente es el de ella. En la situación anterior realmente lo único que hemos hecho es emplear un truco. No obstante, resulta bastante curioso.

Si entre los números racionales encontramos ideas enigmáticas y curiosas, más aún, si empezamos a tratar los irracionales, con números como π, e ó la raíz cuadrada de 2. También tenemos los números complejos y un número cardinal «alef» más sorprendente aún si cabe. Pero ya os hablaré de ellos otro día.

En definitiva, ¿hasta que punto podemos decir que ciertos números son invención o descubrimiento? No lo sé, lo que sí es verdad es que todos ellos nos permiten resolver problemas y explicar fenómenos. Si estos fenómenos son intrínsecos a la Naturaleza y los números nos los explican: ¿qué hay de invento y que hay de descubrimiento en ellos?

Sobre el autor: Aarón Ruiz Gómez era, en el momento de publicación de este artículo Lcdo. en Física por la Universidad de Córdoba.

Artículo publicado en Isagogé 0 (2003).